eng
Выпуск #7/2011
В.Недорезов
Феноменологическая модель температурной стабильности металлофольговых резисторов с учетом влияния сопротивления выводов
Феноменологическая модель температурной стабильности металлофольговых резисторов с учетом влияния сопротивления выводов
Просмотры: 3301
Технический уровень разработки и производства резисторов и резисторных компонентов, в первую очередь, определяется значениями таких их параметров, как временная и температурная стабильности сопротивления, токовые шумы, а также точность обеспечения номинального сопротивления. Уникальными характеристиками обладают прецизионные и суперпрецизионные резисторы из резистивных сплавов, выполненные на основе микропроволоки или металлургической фольги микронных размеров. Особый интерес представляют металлофольговые резисторы, сочетающие достоинства проволочных резисторов и возможность изготовления с помощью полупроводниковой технологии. Их создание стало возможным благодаря применению прогрессивных групповых технологий и специальных конструкторских и материаловедческих решений.
Теги: leads resistance. temperature stability model total resistance модель температурной стабильности общее сопротивление резистора сопротивление выводов
Модель температурной стабильности металлофольговых резисторов
Высокие эксплуатационные характеристики металлофольговых резисторов и, прежде всего, температурный коэффициент сопротивления (ТКС) достигаются благодаря явлению термокомпенсации, которое связано с тензорезистивным эффектом, возникающим в системе резистивный материал–подложка из-за различия их температурных коэффициентов линейного расширения [3]. Первый вариант физико–математической модели температурной стабильности металлофольговых резисторов предложен в 1988 году [4]. При разработке модели были приняты следующие допущения:
резистивная фольга жестко связана с подложкой, т.е. влияние клеевого слоя не учитывалось;
толщина подложки намного больше толщины резистивной ленты, поэтому влияние фольги на подложку не учитывалось;
температурные коэффициенты линейного расширения подложки и резистивного материала в рабочем интервале температур практически постоянны, что было подтверждено экспериментально;
резистивная фольга благодаря малой толщине находится в резистивном элементе в плосконапряженном состоянии, и деформация происходит в упругой области.
При разработке модели учитывались следующие составляющие, вносящие вклад в ТКС: собственная температурная зависимость сопротивления исходной резистивной фольги и изменение ее сопротивления в зависимости от изменения геометрических размеров и объема. Изменение сопротивления резистора, вызываемое изменением температуры, в этом случае будет определяться как
(1)
где и – температурные изменения значений сопротивления резистора и свободной фольги, соответственно; и – изменения значений сопротивления свободной и приклеенной резистивной фольги в результате изменения геометрических размеров и объема, соответственно.
Сейчас для резистивных материалов с аномально низким ТКС не существует единой теоретической концепции механизма электропереноса. Поскольку обычно применяемая модель Грюнайзена-Блоха [5] дает хорошее совпадение экспериментальных и теоретических результатов только для некоторых чистых металлов, для описания температурной зависимости сопротивления свободной резистивной фольги можно воспользоваться выражением:
(2)
где α20 – соответствует ТКС резистивной ленты при температуре 20°С (TO); β – характеризует температурную зависимость ТКС.
Зависимость сопротивления свободной резистивной фольги от температуры при изменении ее объема и геометрии определяется как
(3)
где l, a, h – геометрические размеры элемента фольги; dl, da, dh – их изменение в зависимости от температуры.
Если изменение объема и геометрических размеров определяется температурным коэффициентом линейного расширения резистивной фольги αФ, то
(4)
В соответствии с работой [6], где G – коэффициент Бриджмена; dV – изменение объема фольги при изменении температуры от T0 до T.
В отсутствие анизотропии температурного коэффициента линейного расширения получим:
(5)
Подставив (5) в (4), после преобразований получим:
(6)
Для приклеенной фольги это выражение подобно уравнению (3) за исключением того, что
(7)
где – изменение длины и ширины элемента резистора, равное а изменение высоты
(8)
где μ – коэффициент Пуассона резистивного материала, αп – температурный коэффициент линейного расширения подложки.
После всех преобразований получим:
(9)
Выражение для ТКС, полученное из этой формулы, имеет вид:
(10)
Первая составляющая в выражении (10) соответствует ТКС резистивного материала при комнатной температуре, вторая составляющая характеризует степень изменения ТКС в зависимости от температуры, третью определяет тензоэффект в системе резистивная фольга–подложка. Поскольку значение коэффициента Бриджмена, входящего в выражение (10), установить экспериментально достаточно сложно, предложено выразить G через коэффициент тензочувствительности К, который легко определить экспериментально [7, 8].
Общий вид уравнения изменения К в зависимости от характеристик материала и углов α, β, γ между направлением деформации и осями x, y, z, соответственно, для случая деформации объемного образца в произвольном направлении по отношению к направлению протекания тока будет иметь вид [9]:
(11)
Из общего выражения вытекают частные случаи. Например, для одноосного напряженного состояния, когда направление протекания тока совпадает с направлением деформации, т.е. α = 0°, β = 90° и γ = 90° (продольный тензоэффект), уравнение (11) преобразуется в вид:
(12)
где – продольный коэффициент тензочувстви-
тельности.
Если выразить коэффициент Бриджмена через продольный коэффициент тензочувствительности К и подставить его в формулу (10), получим:
(13)
Тогда
(14)
В общем виде минимальное значение ТКС металлофольгового резистора в диапазоне рабочих температур определяется как
(15)
или
(16)
После интегрирования получим:
(17)
где T2, T1, T0 – максимальная, минимальная и комнатная температуры, соответственно, в рабочем диапазоне температур.
В рамках разработанной модели в выражение (17), кроме α20, входят постоянные величины, которые определяются экспериментально [10–11]. Для обеспечения минимальных значений ТКС в рабочем интервале температур необходимо решить уравнение относительно α20.
Расчеты температурной зависимости значений сопротивления исходной фольги из отечественного сплава НМ23ХЮ и резисторов, идеального и реального, Р2-67 (рис.1) показали расхождение значений сопротивления резисторов. Это в основном обусловлено отклонением значений ТКС исходной резистивной фольги от расчетного, а также вкладом ТКС выводов. Чем меньше сопротивление металлофольгового резистора, тем больше вклад выводов в общее изменение ТКС резистора. Проведем расчет этого вклада и добавим его в качестве составляющей в модель ТКС металлофольгового резистора.
Модель температурной стабильности металлофольговых резисторов с учетом влияния сопротивления выводов
Экспериментально установлено, что температурные зависимости сопротивления металлофольговых резисторов и сопротивления выводов описываются достаточно точно полиномом второй степени. С учетом этого и разработана модель ТКС металлофольговых резисторов с учетом сопротивления выводов.
Общее сопротивление металлофольгового резистора складывается из сопротивления резистивного элемента и сопротивления выводов при условии, что резистор включен в схему последовательно по двухпроводной схеме. Тогда общее сопротивление при нормальной температуре будет равно:
(18)
где – общее сопротивление резистора, – сопротивление резистивного элемента, – сопротивление выводов.
Общее сопротивление резистора при температуре T1 будет равно:
(19)
где – общее сопротивление резистора, – сопротивление резистивного элемента, – сопротивление выводов, αр.э и βр.э – соответствующие температурные коэффициенты резистивного элемента; αв и βв – соответствующие температурные коэффициенты материала вывода.
После подстановки выражений (18) и (19) в формулу ТКС получим:
В результате преобразования выражения (20) получим:
(21)
После перемножения и деления числителя и знаменателя на получим:
(22)
При отношении что соответствует максимальной погрешности измерения ТКС, можно выполнить следующие преобразования с погрешностью менее 5%.
После деления числителя на знаменатель получим:
(23)
Сумма первых двух членов в уравнении (23) равна уравнению модели ТКС, описываемой формулой (14).
Таким образом, обобщенная модель с учетом вклада ТКС выводов будет иметь вид:
(24)
Полученная модель ТКС металлофольговых резисторов учитывает вклад ТКС сопротивления выводов при заданном отношении
Для теоретической проверки полученной модели необходимо знать значения температурных коэффициентов β, αв и βв.
Для проверки модели металлофольговых резисторов на основе резистивной фольги из сплава НМ23ХЮ с никелевыми выводами рассмотрим идеальный случай, когда температурный коэффициент α20 резистивного элемента равен нулю, что соответствует минимальному значению ТКС элемента. Температурный коэффициент β, входящий в выражение (24), численно равен коэффициенту β резистивной фольги из сплава НМ23ХЮ – ~2,5·10-8 град-2 [10].
В соответствии с ГОСТ [12], температурная зависимость сопротивления никеля в интервале температур -60…100°С определяется выражением:
(25)
где αв = 5,4963·10-3 град-1 и βв = 6,7556·10-3 град-1.
Рассчитаем влияние температурной зависимости сопротивления выводов на ТКС резистора при значениях соотношения равных, 105, 104, 103, 102, 50.
При теоретической проверке идеальной модели результаты исследований представляются в виде графиков ТКС = f ( T1 – T0 ). С учетом этого условия в соответствии с уравнением (24) значение ТКС рассчитывается по формуле:
(26)
Температурные зависимости относительного изменения сопротивления, построенные в координатах рассчитываются с помощью соотношения:
(27)
Из полученных в результате теоретических расчетов кривых видно, что при увеличении соотношения происходит смещение ТКС резисторов в положительную область (рис.2). При этом при соотношении ≥ 104 вклад температурной зависимости сопротивления выводов в общее изменение температурной зависимости сопротивления резистора пренебрежимо мал.
Изменение соотношения влияет не только на абсолютное значение ТКС, но и на крутизну температурной зависимости сопротивления резисторов. Коэффициент β изменяется от отрицательных значений, проходит через нуль при значении и затем увеличивается (рис.2 и 3).
Для того чтобы в обобщенном виде представить влияние температурной зависимости сопротивления выводов на ТКС резистора, необходимо определить среднее значение ТКС резистора в рассматриваемом интервале температур и представить его в виде Полученные зависимости корректны, так как они справедливы для линейной модели, а ТКС описывается линейной моделью (26). С учетом того, что для проверки модели выбран симметричный относительно температуры Т0 = 20°С интервал температур (-60…100°С), TКСср = ТКСТ0, т.е. значению ТКС резистора при температуре 20°С. Для большей наглядности эту зависимость можно построить в логарифмических координатах, так как рассматриваемые значения ТКСср и в рамках предложенной модели изменяются на несколько порядков. Из полученных кривых видно, что в интервале выбранных значений зависимость для металлофольговых резисторов с никелевыми выводами хорошо аппроксимируется линейной зависимостью (рис.4).
* * *
Таким образом, уточнена феноменологическая модель ТКС металлофольговых резисторов с учетом влияния ТКС выводов на изменение сопротивления резистора. Полученная модель позволяет не только учитывать зависимость сопротивления ТКС металлофольговых резисторов от сопротивления выводов, но и решать обратную задачу: по влиянию выводов на температурную зависимость сопротивления резисторов определять сопротивление выводов.
Литература
Недорезов В.Г. Металлофольговые резисторы и наборы резисторов. Часть 4. – М.: Электронные компоненты, 2005, №6.
Искаков Б.М., Недорезов В.Г. Резистивные материалы: нихромы и керметы (монография). – Алма-Ата, изд-е КГТУ, 2006.
Каталог фирмы "Vishay".
Недорезов В.Г. Температурная зависимость сопротивления металлофольговых резисторов.– Электронная техника. Сер. Радиодетали и радиокомпоненты, 1988, вып. 2(71), с.22–25.
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978.
Рузга З. Электрические тензометры сопротивления. – М.: Мир, 1964.
Недорезов В.Г. Феноменологические модели температурной и временной стабильности металлофольговых резисторов.– Электронная промышленность, 2008, №4, с.75–78.
Недорезов В.Г. Модель температурной зависимости сопротивления металофольговых резисторов. – Петербургский журнал электроники, 2005, №4, с.77–82.
Недорезов В.Г. Зависимость коэффициента тензочувствительности керметных резистивных материалов от направления протекания тока и деформации.– Перспективные материалы, 2003, №3, с.95–100.
Кузнецов А.В., Недорезов В.Г. Физико-механические эффекты резистивной проволоки из прецизионных сплавов сопротивления.– Электронная техника. Сер. Материалы, 1990, вып. 8(253), с.63–66.
Мараканов В.В., Недорезов В.Г., Кузнецов А.В. Резистивные материалы на основе никеля для прецизионных резисторов.– Электронная промышленность, 1988, вып3, с.62–64
ГОСТ 6651-91. Термопреобразователи сопротивления.
Высокие эксплуатационные характеристики металлофольговых резисторов и, прежде всего, температурный коэффициент сопротивления (ТКС) достигаются благодаря явлению термокомпенсации, которое связано с тензорезистивным эффектом, возникающим в системе резистивный материал–подложка из-за различия их температурных коэффициентов линейного расширения [3]. Первый вариант физико–математической модели температурной стабильности металлофольговых резисторов предложен в 1988 году [4]. При разработке модели были приняты следующие допущения:
резистивная фольга жестко связана с подложкой, т.е. влияние клеевого слоя не учитывалось;
толщина подложки намного больше толщины резистивной ленты, поэтому влияние фольги на подложку не учитывалось;
температурные коэффициенты линейного расширения подложки и резистивного материала в рабочем интервале температур практически постоянны, что было подтверждено экспериментально;
резистивная фольга благодаря малой толщине находится в резистивном элементе в плосконапряженном состоянии, и деформация происходит в упругой области.
При разработке модели учитывались следующие составляющие, вносящие вклад в ТКС: собственная температурная зависимость сопротивления исходной резистивной фольги и изменение ее сопротивления в зависимости от изменения геометрических размеров и объема. Изменение сопротивления резистора, вызываемое изменением температуры, в этом случае будет определяться как
(1)
где и – температурные изменения значений сопротивления резистора и свободной фольги, соответственно; и – изменения значений сопротивления свободной и приклеенной резистивной фольги в результате изменения геометрических размеров и объема, соответственно.
Сейчас для резистивных материалов с аномально низким ТКС не существует единой теоретической концепции механизма электропереноса. Поскольку обычно применяемая модель Грюнайзена-Блоха [5] дает хорошее совпадение экспериментальных и теоретических результатов только для некоторых чистых металлов, для описания температурной зависимости сопротивления свободной резистивной фольги можно воспользоваться выражением:
(2)
где α20 – соответствует ТКС резистивной ленты при температуре 20°С (TO); β – характеризует температурную зависимость ТКС.
Зависимость сопротивления свободной резистивной фольги от температуры при изменении ее объема и геометрии определяется как
(3)
где l, a, h – геометрические размеры элемента фольги; dl, da, dh – их изменение в зависимости от температуры.
Если изменение объема и геометрических размеров определяется температурным коэффициентом линейного расширения резистивной фольги αФ, то
(4)
В соответствии с работой [6], где G – коэффициент Бриджмена; dV – изменение объема фольги при изменении температуры от T0 до T.
В отсутствие анизотропии температурного коэффициента линейного расширения получим:
(5)
Подставив (5) в (4), после преобразований получим:
(6)
Для приклеенной фольги это выражение подобно уравнению (3) за исключением того, что
(7)
где – изменение длины и ширины элемента резистора, равное а изменение высоты
(8)
где μ – коэффициент Пуассона резистивного материала, αп – температурный коэффициент линейного расширения подложки.
После всех преобразований получим:
(9)
Выражение для ТКС, полученное из этой формулы, имеет вид:
(10)
Первая составляющая в выражении (10) соответствует ТКС резистивного материала при комнатной температуре, вторая составляющая характеризует степень изменения ТКС в зависимости от температуры, третью определяет тензоэффект в системе резистивная фольга–подложка. Поскольку значение коэффициента Бриджмена, входящего в выражение (10), установить экспериментально достаточно сложно, предложено выразить G через коэффициент тензочувствительности К, который легко определить экспериментально [7, 8].
Общий вид уравнения изменения К в зависимости от характеристик материала и углов α, β, γ между направлением деформации и осями x, y, z, соответственно, для случая деформации объемного образца в произвольном направлении по отношению к направлению протекания тока будет иметь вид [9]:
(11)
Из общего выражения вытекают частные случаи. Например, для одноосного напряженного состояния, когда направление протекания тока совпадает с направлением деформации, т.е. α = 0°, β = 90° и γ = 90° (продольный тензоэффект), уравнение (11) преобразуется в вид:
(12)
где – продольный коэффициент тензочувстви-
тельности.
Если выразить коэффициент Бриджмена через продольный коэффициент тензочувствительности К и подставить его в формулу (10), получим:
(13)
Тогда
(14)
В общем виде минимальное значение ТКС металлофольгового резистора в диапазоне рабочих температур определяется как
(15)
или
(16)
После интегрирования получим:
(17)
где T2, T1, T0 – максимальная, минимальная и комнатная температуры, соответственно, в рабочем диапазоне температур.
В рамках разработанной модели в выражение (17), кроме α20, входят постоянные величины, которые определяются экспериментально [10–11]. Для обеспечения минимальных значений ТКС в рабочем интервале температур необходимо решить уравнение относительно α20.
Расчеты температурной зависимости значений сопротивления исходной фольги из отечественного сплава НМ23ХЮ и резисторов, идеального и реального, Р2-67 (рис.1) показали расхождение значений сопротивления резисторов. Это в основном обусловлено отклонением значений ТКС исходной резистивной фольги от расчетного, а также вкладом ТКС выводов. Чем меньше сопротивление металлофольгового резистора, тем больше вклад выводов в общее изменение ТКС резистора. Проведем расчет этого вклада и добавим его в качестве составляющей в модель ТКС металлофольгового резистора.
Модель температурной стабильности металлофольговых резисторов с учетом влияния сопротивления выводов
Экспериментально установлено, что температурные зависимости сопротивления металлофольговых резисторов и сопротивления выводов описываются достаточно точно полиномом второй степени. С учетом этого и разработана модель ТКС металлофольговых резисторов с учетом сопротивления выводов.
Общее сопротивление металлофольгового резистора складывается из сопротивления резистивного элемента и сопротивления выводов при условии, что резистор включен в схему последовательно по двухпроводной схеме. Тогда общее сопротивление при нормальной температуре будет равно:
(18)
где – общее сопротивление резистора, – сопротивление резистивного элемента, – сопротивление выводов.
Общее сопротивление резистора при температуре T1 будет равно:
(19)
где – общее сопротивление резистора, – сопротивление резистивного элемента, – сопротивление выводов, αр.э и βр.э – соответствующие температурные коэффициенты резистивного элемента; αв и βв – соответствующие температурные коэффициенты материала вывода.
После подстановки выражений (18) и (19) в формулу ТКС получим:
В результате преобразования выражения (20) получим:
(21)
После перемножения и деления числителя и знаменателя на получим:
(22)
При отношении что соответствует максимальной погрешности измерения ТКС, можно выполнить следующие преобразования с погрешностью менее 5%.
После деления числителя на знаменатель получим:
(23)
Сумма первых двух членов в уравнении (23) равна уравнению модели ТКС, описываемой формулой (14).
Таким образом, обобщенная модель с учетом вклада ТКС выводов будет иметь вид:
(24)
Полученная модель ТКС металлофольговых резисторов учитывает вклад ТКС сопротивления выводов при заданном отношении
Для теоретической проверки полученной модели необходимо знать значения температурных коэффициентов β, αв и βв.
Для проверки модели металлофольговых резисторов на основе резистивной фольги из сплава НМ23ХЮ с никелевыми выводами рассмотрим идеальный случай, когда температурный коэффициент α20 резистивного элемента равен нулю, что соответствует минимальному значению ТКС элемента. Температурный коэффициент β, входящий в выражение (24), численно равен коэффициенту β резистивной фольги из сплава НМ23ХЮ – ~2,5·10-8 град-2 [10].
В соответствии с ГОСТ [12], температурная зависимость сопротивления никеля в интервале температур -60…100°С определяется выражением:
(25)
где αв = 5,4963·10-3 град-1 и βв = 6,7556·10-3 град-1.
Рассчитаем влияние температурной зависимости сопротивления выводов на ТКС резистора при значениях соотношения равных, 105, 104, 103, 102, 50.
При теоретической проверке идеальной модели результаты исследований представляются в виде графиков ТКС = f ( T1 – T0 ). С учетом этого условия в соответствии с уравнением (24) значение ТКС рассчитывается по формуле:
(26)
Температурные зависимости относительного изменения сопротивления, построенные в координатах рассчитываются с помощью соотношения:
(27)
Из полученных в результате теоретических расчетов кривых видно, что при увеличении соотношения происходит смещение ТКС резисторов в положительную область (рис.2). При этом при соотношении ≥ 104 вклад температурной зависимости сопротивления выводов в общее изменение температурной зависимости сопротивления резистора пренебрежимо мал.
Изменение соотношения влияет не только на абсолютное значение ТКС, но и на крутизну температурной зависимости сопротивления резисторов. Коэффициент β изменяется от отрицательных значений, проходит через нуль при значении и затем увеличивается (рис.2 и 3).
Для того чтобы в обобщенном виде представить влияние температурной зависимости сопротивления выводов на ТКС резистора, необходимо определить среднее значение ТКС резистора в рассматриваемом интервале температур и представить его в виде Полученные зависимости корректны, так как они справедливы для линейной модели, а ТКС описывается линейной моделью (26). С учетом того, что для проверки модели выбран симметричный относительно температуры Т0 = 20°С интервал температур (-60…100°С), TКСср = ТКСТ0, т.е. значению ТКС резистора при температуре 20°С. Для большей наглядности эту зависимость можно построить в логарифмических координатах, так как рассматриваемые значения ТКСср и в рамках предложенной модели изменяются на несколько порядков. Из полученных кривых видно, что в интервале выбранных значений зависимость для металлофольговых резисторов с никелевыми выводами хорошо аппроксимируется линейной зависимостью (рис.4).
* * *
Таким образом, уточнена феноменологическая модель ТКС металлофольговых резисторов с учетом влияния ТКС выводов на изменение сопротивления резистора. Полученная модель позволяет не только учитывать зависимость сопротивления ТКС металлофольговых резисторов от сопротивления выводов, но и решать обратную задачу: по влиянию выводов на температурную зависимость сопротивления резисторов определять сопротивление выводов.
Литература
Недорезов В.Г. Металлофольговые резисторы и наборы резисторов. Часть 4. – М.: Электронные компоненты, 2005, №6.
Искаков Б.М., Недорезов В.Г. Резистивные материалы: нихромы и керметы (монография). – Алма-Ата, изд-е КГТУ, 2006.
Каталог фирмы "Vishay".
Недорезов В.Г. Температурная зависимость сопротивления металлофольговых резисторов.– Электронная техника. Сер. Радиодетали и радиокомпоненты, 1988, вып. 2(71), с.22–25.
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978.
Рузга З. Электрические тензометры сопротивления. – М.: Мир, 1964.
Недорезов В.Г. Феноменологические модели температурной и временной стабильности металлофольговых резисторов.– Электронная промышленность, 2008, №4, с.75–78.
Недорезов В.Г. Модель температурной зависимости сопротивления металофольговых резисторов. – Петербургский журнал электроники, 2005, №4, с.77–82.
Недорезов В.Г. Зависимость коэффициента тензочувствительности керметных резистивных материалов от направления протекания тока и деформации.– Перспективные материалы, 2003, №3, с.95–100.
Кузнецов А.В., Недорезов В.Г. Физико-механические эффекты резистивной проволоки из прецизионных сплавов сопротивления.– Электронная техника. Сер. Материалы, 1990, вып. 8(253), с.63–66.
Мараканов В.В., Недорезов В.Г., Кузнецов А.В. Резистивные материалы на основе никеля для прецизионных резисторов.– Электронная промышленность, 1988, вып3, с.62–64
ГОСТ 6651-91. Термопреобразователи сопротивления.
Отзывы читателей
