eng
Выпуск #8/2017
А.Лисов, Т.Чернова, М.Горбунов
Моделирование нелинейных характеристик электротехнических устройств в задачах по упреждению отказов
Моделирование нелинейных характеристик электротехнических устройств в задачах по упреждению отказов
Просмотры: 2018
В статье рассматривается алгоритмизация процессов, наблюдаемых при описании вольт-амперных характеристик нелинейных элементов электротехнических устройств, при этом подбирается вид аналитической зависимости, позволяющий прогнозировать критический предел функционирования устройств.
УДК 519.654:519.657
ВАК 05.27.00
DOI: 10.22184/1992-4178.2017.169.8.136.140
УДК 519.654:519.657
ВАК 05.27.00
DOI: 10.22184/1992-4178.2017.169.8.136.140
Теги: analytical dependence type determination failure prevention fractional rational and power functions nonlinear elements of electrical devices operation critical limit дробно-рациональные и степенные функции критический предел эксплуатации нелинейные элементы электротехнических устройств определение вида аналитической зависимости упреждение отказов
Существующие программные комплексы трудоемки в эксплуатации и предназначены для использования только высоко квалифицированными специалистами – программистами, электротехниками, электромеханиками. Разработка математической модели нелинейных процессов разного характера на основе единого подхода, достаточно компактной в реализации и обеспечивающей заданную количественную точность, является очень актуальной.
Все нелинейные элементы (НЭ) подразделяют на электрические и магнитные. В настоящей работе рассматриваются электрические НЭ, причем для которых как в неуправляемых, так и в управляемых элементах наблюдаются процессы с насыщением, имеющие ВАХ определенного вида [2]. В качестве примера неуправляемых НЭ можно привести бареттер, вакуумный диод, а управляемых – биполярный и полевой транзисторы.
Оптимальным для практики проектирования и эксплуатации электротехнических устройств является метод наименьших квадратов (МНК). К его достоинствам относятся: обеспечение требуемой точности для моделирования очень широкого класса функций, простота реализации, относительная независимость от количества точек исходных функций (чем больше точек, тем предпочтительнее), возможность уточнения модели объекта в процессе эксплуатации с учетом новых данных и, таким образом, уточнения прогноза на последующую эксплуатацию [3].
Анализ особенностей нелинейных характеристик наиболее распространенных элементов, ВАХ которых соответствует процессам с насыщением, позволяет выделить два наиболее характерных типа уравнений, которые используются для описания этих характеристик: дробно-рациональные, имеющие вид:
или ,
а также степенные функции:
f2 (x) = ахb.
При степенные функции подходят для моделирования процессов с насыщением – ВАХ нелинейных резистивных элементов (в частности, бареттера).
Для исследования качественного характера поведения ВАХ таких нелинейных элементов приведена таблица значений, отражающая закономерность процессов с насыщением (табл.1). Числовые значения в таблице приведены в качестве примера. Формализованная постановка задачи сводится к подбору вида аналитической зависимости у = f (х), приближающей график (рис.1).
Для моделирования таких процессов ограничимся двумя параметрами в уравнениях. Определим параметры а и b методом наименьших квадратов (МНК), согласно этому методу наилучшими параметрами a и b считают те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна:
.
Здесь n – число точек табличной функции (см. табл.1).
Необходимо найти частные производные от этой суммы по параметрам a и b и решить уравнения:
I. Рассмотрим дробно-линейную аппроксимирующую функцию . Для нее система имеет вид:
Далее система уравнений преобразуется к виду:
Если ввести следующие обозначения:
; ; ; ; ,
то систему можно записать в нормальном виде по МНК:
Для вычисления коэффициентов нормальной системы нужно составить таблицу (см. табл.2), причем последние три столбца таблицы – расчетные значения , отклонения δ1i и квадраты отклонений δ1i2 – заполняются только после решения системы.
С найденными числовыми коэффициентами система уравнений имеет вид:
Решение этой системы позволяет определить значения параметров: а = 0,0435; b = 0,1126. Тогда искомая функция f1 (x) будет представлена в виде:
.
Для анализа полученной функции f1 (x) при установленных для нее значениях аргумента вычисляем отклонения и дисперсию . Тогда среднеквадратическое отклонение (СКО): .
II. Выполним анализ для степенной аппроксимирующей функции f2(x) = axb. Для нее система уравнений имеет вид:
Система нелинейна относительно неизвестных а и b. Ее решение в полученной форме невозможно. Здесь целесообразно логарифмирование функции f2 (x): y = a xb; ln y = ln a + b ln x.
Обозначив z = ln y; A = ln a; p = ln x, можно записать: z = A + b p. Частные производные по А и b равны ; .
Теперь систему уравнений можно записать в виде:
Систему уравнений несложно преобразовать к виду:
Если ввести следующие обозначения: то система уравнений будет представлена в виде:
Для вычисления коэффициентов системы нужно составить таблицу (табл.3), причем последние три столбца таблицы – расчетные значения f2 (xi), отклонения δ2i и квадраты отклонений δ22i – заполняются после решения системы.
С числовыми коэффициентами систему уравнений запишем в виде (n = 4):
Решение системы позволяет определить значения параметров А = 1,9796; b = 0,4124, откуда а = eA = 7,2399. Тогда искомую функцию f2 (x) можно записать в виде:
f2 (x) = 7,2399 x0,4124.
Для анализа полученной функции при установленных для нее значениях аргумента вычислим отклонения и дисперсию . Тогда среднеквадратическое отклонение (СКО): . Очевидно, в рассмотренных в настоящей статье задачах аппроксимации по методу наименьших квадратов, погрешности, обеспечиваемые дробно-рациональной функцией f1 (x), и степенной функцией f2 (x) сравнимы по точности. Однако в каждом конкретном случае решение о применении той или иной зависимости следует принимать индивидуально на основе сравнительного анализа результатов аппроксимации.
Следует также заметить, что для моделирования процессов с насыщением с горизонтальными асимптотами подходят также показательные (здесь – экспоненциальные) функции вида:
В ряде случаев, как следует из опыта, такие функции имеют преимущество в моделировании ВАХ, показывая бульшую точность приближения при сокращении алгоритмов и вычислительных операций по сравнению с функциями f1(x) и f2 (x).
Таким образом, разработан обобщенный алгоритм решения задач аппроксимации процессов с насыщением различными аналитическими функциями. Для широкой номенклатуры нелинейных элементов электротехнических устройств их экспресс-диагностикой может служить анализ кривой ВАХ. Получив экспериментальные данные кривой, в каждом плановом контроле для нее можно установить исследуемую закономерность, анализируя значение СКО. Это позволит на основе достаточной статистики эксплуатации рассматриваемых устройств судить об их техническом состоянии и о продолжительности их последующей эксплуатации, а также прогнозировать критический предел функционирования и остаточное время жизни устройства [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гольдберг О.Д. Испытания электрических машин. Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2000. 255 с.: ил.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Учебник. 10-е изд. – М.: Гардарики, 2002. 638 с.
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб: Лань, 2010. 400 с.
4. Чернова Т.А., Лисов А.А., Кубрин П.В. Получение консолидированной информации о состоянии контролируемых объектов по совокупности их характеристических параметров // Наукоемкие технологии. 2015. № 6. Т. 16. 16–19 с.
Все нелинейные элементы (НЭ) подразделяют на электрические и магнитные. В настоящей работе рассматриваются электрические НЭ, причем для которых как в неуправляемых, так и в управляемых элементах наблюдаются процессы с насыщением, имеющие ВАХ определенного вида [2]. В качестве примера неуправляемых НЭ можно привести бареттер, вакуумный диод, а управляемых – биполярный и полевой транзисторы.
Оптимальным для практики проектирования и эксплуатации электротехнических устройств является метод наименьших квадратов (МНК). К его достоинствам относятся: обеспечение требуемой точности для моделирования очень широкого класса функций, простота реализации, относительная независимость от количества точек исходных функций (чем больше точек, тем предпочтительнее), возможность уточнения модели объекта в процессе эксплуатации с учетом новых данных и, таким образом, уточнения прогноза на последующую эксплуатацию [3].
Анализ особенностей нелинейных характеристик наиболее распространенных элементов, ВАХ которых соответствует процессам с насыщением, позволяет выделить два наиболее характерных типа уравнений, которые используются для описания этих характеристик: дробно-рациональные, имеющие вид:
или ,
а также степенные функции:
f2 (x) = ахb.
При степенные функции подходят для моделирования процессов с насыщением – ВАХ нелинейных резистивных элементов (в частности, бареттера).
Для исследования качественного характера поведения ВАХ таких нелинейных элементов приведена таблица значений, отражающая закономерность процессов с насыщением (табл.1). Числовые значения в таблице приведены в качестве примера. Формализованная постановка задачи сводится к подбору вида аналитической зависимости у = f (х), приближающей график (рис.1).
Для моделирования таких процессов ограничимся двумя параметрами в уравнениях. Определим параметры а и b методом наименьших квадратов (МНК), согласно этому методу наилучшими параметрами a и b считают те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна:
.
Здесь n – число точек табличной функции (см. табл.1).
Необходимо найти частные производные от этой суммы по параметрам a и b и решить уравнения:
I. Рассмотрим дробно-линейную аппроксимирующую функцию . Для нее система имеет вид:
Далее система уравнений преобразуется к виду:
Если ввести следующие обозначения:
; ; ; ; ,
то систему можно записать в нормальном виде по МНК:
Для вычисления коэффициентов нормальной системы нужно составить таблицу (см. табл.2), причем последние три столбца таблицы – расчетные значения , отклонения δ1i и квадраты отклонений δ1i2 – заполняются только после решения системы.
С найденными числовыми коэффициентами система уравнений имеет вид:
Решение этой системы позволяет определить значения параметров: а = 0,0435; b = 0,1126. Тогда искомая функция f1 (x) будет представлена в виде:
.
Для анализа полученной функции f1 (x) при установленных для нее значениях аргумента вычисляем отклонения и дисперсию . Тогда среднеквадратическое отклонение (СКО): .
II. Выполним анализ для степенной аппроксимирующей функции f2(x) = axb. Для нее система уравнений имеет вид:
Система нелинейна относительно неизвестных а и b. Ее решение в полученной форме невозможно. Здесь целесообразно логарифмирование функции f2 (x): y = a xb; ln y = ln a + b ln x.
Обозначив z = ln y; A = ln a; p = ln x, можно записать: z = A + b p. Частные производные по А и b равны ; .
Теперь систему уравнений можно записать в виде:
Систему уравнений несложно преобразовать к виду:
Если ввести следующие обозначения: то система уравнений будет представлена в виде:
Для вычисления коэффициентов системы нужно составить таблицу (табл.3), причем последние три столбца таблицы – расчетные значения f2 (xi), отклонения δ2i и квадраты отклонений δ22i – заполняются после решения системы.
С числовыми коэффициентами систему уравнений запишем в виде (n = 4):
Решение системы позволяет определить значения параметров А = 1,9796; b = 0,4124, откуда а = eA = 7,2399. Тогда искомую функцию f2 (x) можно записать в виде:
f2 (x) = 7,2399 x0,4124.
Для анализа полученной функции при установленных для нее значениях аргумента вычислим отклонения и дисперсию . Тогда среднеквадратическое отклонение (СКО): . Очевидно, в рассмотренных в настоящей статье задачах аппроксимации по методу наименьших квадратов, погрешности, обеспечиваемые дробно-рациональной функцией f1 (x), и степенной функцией f2 (x) сравнимы по точности. Однако в каждом конкретном случае решение о применении той или иной зависимости следует принимать индивидуально на основе сравнительного анализа результатов аппроксимации.
Следует также заметить, что для моделирования процессов с насыщением с горизонтальными асимптотами подходят также показательные (здесь – экспоненциальные) функции вида:
В ряде случаев, как следует из опыта, такие функции имеют преимущество в моделировании ВАХ, показывая бульшую точность приближения при сокращении алгоритмов и вычислительных операций по сравнению с функциями f1(x) и f2 (x).
Таким образом, разработан обобщенный алгоритм решения задач аппроксимации процессов с насыщением различными аналитическими функциями. Для широкой номенклатуры нелинейных элементов электротехнических устройств их экспресс-диагностикой может служить анализ кривой ВАХ. Получив экспериментальные данные кривой, в каждом плановом контроле для нее можно установить исследуемую закономерность, анализируя значение СКО. Это позволит на основе достаточной статистики эксплуатации рассматриваемых устройств судить об их техническом состоянии и о продолжительности их последующей эксплуатации, а также прогнозировать критический предел функционирования и остаточное время жизни устройства [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гольдберг О.Д. Испытания электрических машин. Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2000. 255 с.: ил.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Учебник. 10-е изд. – М.: Гардарики, 2002. 638 с.
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб: Лань, 2010. 400 с.
4. Чернова Т.А., Лисов А.А., Кубрин П.В. Получение консолидированной информации о состоянии контролируемых объектов по совокупности их характеристических параметров // Наукоемкие технологии. 2015. № 6. Т. 16. 16–19 с.
Отзывы читателей
