eng
Выпуск #9/2020
О. Пчельникова-Гротова
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ В СОЛНЕЧНОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКЕ
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ В СОЛНЕЧНОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКЕ
Просмотры: 1071
DOI: 10.22184/1992-4178.2020.200.9.132.138
Заключительный материал в серии статей, посвященных расчету фотоэлектрической энергетической установки. Описано создание программы управления положением фотоэлектрических панелей для микроконтроллера SAM4E с ядром Cortex-M4.
Заключительный материал в серии статей, посвященных расчету фотоэлектрической энергетической установки. Описано создание программы управления положением фотоэлектрических панелей для микроконтроллера SAM4E с ядром Cortex-M4.
Теги: photovoltaic power system sam4e microcontroller solar panel position control program solar tracking system микроконтроллер sam4e программа управления положением солнечных панелей система слежения за солнцем фотоэлектрическая энергетическая установка
Управление движением фотоэлектрических панелей в солнечной энергетической установке
О. Пчельникова-Гротова, к. т. н.
В предыдущей статье авторского коллектива по теме проектирования солнечной энергетической установки (СЭУ) [1] были рассмотрены задачи, решаемые системой слежения за Солнцем, и работа ее основных агрегатов; приведена электрическая схема входящего в ее состав контроллера управления положением фотоэлектрических панелей, построенного на аппаратной базе микроконтроллера SAM4E с ядром Cortex-M4. В данной статье описан следующий этап работ – создание программы управления системой слежения.
Подробное описание работы системы слежения приведено в [1]. Объектом управления являются фотоэлектрические панели (ФЭП) с их поворотным механизмом, на который с регулятора (контроллера) поступает управляющее воздействие. Объект управления (регулирования) и автоматический регулятор образуют замкнутую систему автоматического регулирования (САР) (рис. 1) с двумя видами обратной связи для двух режимов работы СЭУ.
В одном из режимов система отрабатывает сигналы от дифференциальных фотодатчиков, нулевое значение которых соответствует наиболее точному, в пределах возможностей системы, направлению ФЭП на Солнце. В другом режиме контроллер формирует сигнал управления как функцию рассогласования между программно заданными углами поворота ФЭП и сигналами об их реальном значении; последние поступают от тензометрических датчиков, измеряющих силу растяжения пружин гидроцилиндров, пропорциональную углу поворота ФЭП.
Контроллер выполняет все функции по управлению движением ФЭП, из которых наиболее сложной является функция корректирующего устройства, обеспечивающего динамические свойства системы слежения. Для ее реализации была разработана методика расчета параметров корректирующего устройства системы автоматического управления (расчет ПИД-регулятора [2]). В основе методики лежит частотный метод синтеза систем автоматического регулирования с применением логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ) [3]; далее результат синтеза, полученный в аналитической форме, подвергается преобразованиям с целью получения уравнений для расчета в цифровом контроллере.
В частотном методе синтеза передаточной функции корректирующего устройства первым этапом является формирование желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы по требованиям к качеству процесса управления замкнутой системой. Другими словами, на этом этапе определяются параметры системы, которая не содержала бы корректирующего звена, по составу динамических звеньев была бы аналогична объекту регулирования и при этом обеспечивала бы требуемое качество управления.
Процесс синтеза начинается с определения передаточной функции неизменяемой части системы, в состав которой входят все элементы объекта управления, влияющие на его динамические характеристики. Поскольку инерционность датчиков не оказывает сколько-нибудь значимого влияния на динамику управления СЭУ, то в нашем случае неизменяемая часть системы содержит два типовых динамических звена:
приводы механизма поворота – интегрирующее звено с передаточной функцией ,
где Т – постоянная времени; Кус – коэффициент усиления гидравлического агрегата;
s – комплексная переменная (оператор Лапласа). Для рассматриваемой системы слежения [1] из конструктивных соображений приняты коэффициент усиления Кус = 200 и время переходного процесса (время регулирования), определяемое инерционностью солнечных панелей и поворотного механизма, Т = 0,2 с.
Таким образом, нескорректированная система (неизменяемая часть САР) обладает астатизмом первого порядка, так как содержит только одно интегрирующее звено, и ее динамические свойства можно описать выражением
. (1)
Как правило, на ЛАЧХ разомкнутой системы выделяют три области: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. В каждой из этих областей вид частотной характеристики оказывает различное влияние на качество процесса управления в замкнутой системе.
На рис. 2 приведена типовая асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы регулирования с астатизмом первого порядка. В области низких частот ω < ω1 (ω1 – частота сопряжения низкочастотной и среднечастотной асимптот) уравнение асимптоты ЛАЧХ имеет вид L(ω) = 20 lg K – 20 lg ω, а ее наклон равен –20 дБ / дек; здесь L(ω) – амплитуда выходного сигнала, K – коэффициент передачи разомкнутой (нескорректированной) системы, равный в нашем случае произведению Кус · Кн, где Кн – коэффициент передачи звеньев неизменяемой части системы. Коэффициент передачи разомкнутой системы определяет точность замкнутой системы, так как при его увеличении уменьшаются все виды установившихся ошибок [3]; величину K можно вычислить по ординате L(ω) при значении ω = 1.
Вид желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы определяется основным требованием, предъявляемым к любой САР, – непревышением допустимого значения ошибки, то есть расхождения между требуемым и действительным значениями управляемой переменной.В области низких частот выполнению этого требования соответствует наклон асимптоты ЛАЧХ, равный –20 дБ / дек; расположение этой области относительно осей координат зависит от соотношения между коэффициентом передачи разомкнутой системы и частотой сопряжения низкочастотной и среднечастотной асимптот ЛАЧХ.
Качество работы САР в динамическом режиме определяет среднечастотная часть ЛАЧХ, в которой расположена частота среза ωс. Как можно видеть из рис. 2, у разомкнутой (нескорректированной) астатической системы первого порядка на этом участке, находящемся в области ω ≥ ω1, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон –40 дБ / дек. Однако для обеспечения приемлемой по перерегулированию и по степени затухания переходной характеристики САР участок средних частот должен иметь наклон –20 дБ / дек. Задачей синтеза желаемой ЛАЧХ в области средних частот является определение местоположения этого участка и его протяженности с тем, чтобы на следующих этапах реализовать соответствующую коррекцию ЛАЧХ при помощи корректирующего устройства.
Основными показателями переходного процесса являются время регулирования tр, характеризующее быстродействие системы и соответствующее периоду, по истечении которого управляемая величина входит в зону нечувствительности регулятора, и перерегулирование σ, представляющее собой максимальное отклонение управляемой величины от заданного значения. Эти показатели тесно связаны между собой.
Перерегулирование появляется вследствие того, что к новому установившемуся состоянию система подходит с определенной скоростью, и чем больше эта скорость, тем дальше система «пройдет» по инерции за новое установившееся положение. Для уменьшения перерегулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к новому установившемуся состоянию, что приводит к увеличению времени регулирования.
В рассматриваемой системе слежения приемлемое качество регулирования достигается, если перерегулирование σ не превышает 40%, а время переходного процесса tр составляет не более 1 с.
Построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ (см. рис. 3) начинается с определения частоты среза ωс. Для этого по значениям параметров σ и tр с использованием детально разработанных номограмм [4] находится параметр с, определяющий соотношение между tр и ωс.При σ = 40% и tр = 1 с номограммы дают значение параметра с, равное 3, и далее по формулам (2, 3) рассчитывается величина ωс:
, откуда при с = 3, (2)
рад / с. (3)
Через абсциссу ωс проводится среднечастотная асимптота в виде прямой с наклоном –20 дБ / дек. Протяженность участка с таким наклоном устанавливается исходя из наименьшего допустимого запаса устойчивости по фазе Δϕ в интервале частот ω2 ≤ ω ≤ ω3 при выполнении для амплитуды желаемой ЛАЧХ Lж(ω) условия, определяемого выражением
Lϕ ≥ Lж(ω) ≥ –Lϕ, (4)
где Lϕ, –Lϕ – амплитуды ЛАЧХ, соответствующие границам интервала частот, в котором система остается устойчивой.
Значения Δϕ и Lϕ определяются по соответствующим номограммам [4] на основании заданной величины перерегулирования σ; в нашем случае Δϕ = 20°, Lϕ = 8.
Продолжение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ от ω2 до точки сопряжения с низкочастотным участком ЛАЧХ нескорректированной системы проводится отрезком с наклоном –40 дБ / дек, чтобы запас устойчивости по фазе не превышал допустимого значения.
Область частот, соответствующую низкочастотному и среднечастотному участкам ЛАЧХ, называют областью существенных частот, поскольку динамические характеристики системы в этой области решающим образом влияют на качество регулирования. Влияние высокочастотного участка ЛАЧХ (ω > ω3) на показатели качества процесса управления несущественно, что связано с относительно малыми постоянными времени на этом участке.
Поэтому здесь желаемая ЛАЧХ строится из соображений простоты реализации корректирующего устройства: высокочастотной асимптоте желаемой ЛАЧХ придается тот же наклон, что у ЛАЧХ нескорректированной системы.
Полученный вид желаемой асимптотической ЛАЧХ показан зеленой линией на рис. 3, а передаточная функция желаемой системы Wж(s) имеет вид
, (5)
где Кр – коэффициент пропорциональности, который является параметром настройки пропорционального регулятора (Кр – передаточная функция пропорционального звена корректирующего устройства); .
Фиксировать величины Т1, Т2, Т3 не требуется, поскольку предстоит этап оптимизации желаемой ЛАЧХ, целью которого является упрощение реализации корректирующего звена системы регулирования. Для этого проводится совмещение точек перегиба разомкнутой и желаемой ЛАЧХ (ω1 = ω01), что приводит к уменьшению числа изломов ЛАЧХ корректирующего устройства и, следовательно, числа сомножителей в его передаточной функции.
Результаты смещения желаемой ЛАЧХ показаны на рис. 4. Можно видеть, что при совмещении точек перегиба получено изменение ωс с рассчитанного ранее значения 60 на 45 рад / с. Уменьшение ωс не приводит к ухудшению качества регулирования; проблемы может вызвать только ее увеличение, поскольку выход ωс за некоторое допустимое максимальное значение приводит к тому, что требования к параметрам системы приходят в противоречие друг с другом, и САР становится нереализуемой.
Условием определения передаточной функции корректирующего устройства Wку(s) является равенство передаточной функции скорректированной разомкнутой системы Wн(s) и желаемой передаточной функции Wж(s), которая обеспечивает требуемое качество процессов управления; другими словами, Wку(s) определяется из выражения
Wку(s) Wн(s) = Wж(s). (6)
С учетом произведенного совмещения частот ω1 и ω01 передаточная функция корректирующего устройства принимает вид
. (7)
Из выражения (7) следует, что синтезированное корректирующее устройство содержит три звена: пропорциональное с передаточной функцией Kp, интегрирующее с передаточной функцией Wинт(s) и дифференцирующее с передаточной функцией Wдиф(s).
Для соответствующих асимптотических ЛАЧХ получим
Lку(ω) + Lн(ω) = Lж(ω), (8)
откуда
Lку(ω) = Lж(ω) – Lн(ω). (9)
Полученная асимптотическая ЛАЧХ корректирующего устройства показана на рис. 5.
Коррекция осуществляется под управлением контроллера SAM4E с ядром Cortex-M4F, вычислительные возможности которого гарантированно способны обеспечить высокую точность регулирования [5, 6].
Чтобы управлять системой слежения посредством цифрового контроллера, аналитическое выражение (7) для асимптотической ЛАЧХ корректирующего устройства необходимо привести к виду, который может быть реализован средствами цифрового контроллера, то есть выбрать частоту дискретизации входного воздействия и получить уравнения для расчета значения ЛАЧХ на каждом шаге квантования.
Для обеспечения линейности управления на основании рекомендаций [7] была выбрана частота повторения основного цикла программы в 100 раз выше, чем максимальная собственная частота объекта регулирования; при значении последней f = 1 / T = 1 / 0,2 = 5 Гц получаем fs = 500 Гц, Тs = 0,002 с.
Основная помеха для системы регулирования СЭУ, подключенной к электросети, возникает на частоте 50 Гц. Блок фазовой автоподстройки частоты контроллера благодаря наличию нового делителя для тактирования USB позволяет тактировать устройство на максимальной скорости 120 МГц [6]; время преобразования АЦП равно 1 мкс, а время выполнения команды – 7 нс. Поэтому для разделения частот имеется возможность повышения частоты повторения основного цикла программы (частоты квантования) до fк = 5 000 Гц (длительность шага квантования Tк = 0,0002 с).
В соответствии с рекомендациями компаний Analog Devices и STMicroelectronics по синтезу цифрового регулятора на базе контроллера SAM4E [8, 9] передаточная функция динамического звена на каждом шаге квантования должна быть представлена выражением вида
yk + 1 = yk + А1 xk+1 + А0 xk, (10)
где yk, yk + 1 – управляемые переменные на k-ом и (k + 1)-ом шагах квантования; xk, xk – задающее воздействие на k-ом и (k + 1)-ом шагах квантования; А0, А1 – коэффициенты.
Таким образом, для расчета выходного сигнала корректирующего устройства контроллер должен на каждом шаге вычислений решить три уравнения вида (10), соответствующих работе пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих ПИД-регулятора. Поскольку в документации производителя контроллера отсутствуют рекомендации по реализации на нем ПИД-регулятора, сначала рассмотрим работу пропорциональной и интегральной его составляющих, в совокупности представляющих собой ПИ-регулятор, рекомендации по которому в документации приведены, а затем дифференциальной составляющей – на основании имеющихся указаний по применению фильтра для акустического терминала.
Настройка и определение параметров ПИ-регулятора проводятся в непрерывной временной области, в которой его передаточная функция имеет вид
, (11)
где KP и KI – параметры ПИ-регулятора, характеризующие пропорциональную и интегральную его составляющие соответственно, s – переменная Лапласа.
Для реализации на цифровом процессоре необходимо перейти от непрерывной временной области, в которой настраивается ПИ-регулятор, к дискретной временной области путем аппроксимации передаточной функции ПИ-регулятора (11) суммой дискретных значений.
Произведя ряд преобразований в соответствии с методикой, изложенной в статье [8], для расчета передаточной функции ПИ-регулятора на каждом шаге квантования получаем два выражения:
yk + 1 = yk + KР x k + 1 + KР(ωсTк – 1) xk, (12)
, (13)
из которых первое описывает пропорциональную составляющую передаточной функции, а второе – интегрирующую.
При введенном выше ограничении по амплитуде Lϕ = 8 можно записать 8 = 20 lg KР, откуда KР = 2,4. Частота среза и длительность периода квантования уже определены: ωс = 45 рад / с, Тк = 0,0002 с. Подставляя эти значения в выражения (12) и (13), получаем для расчета пропорциональной и интегрирующей составляющих передаточной функции корректирующего звена уравнения, соответственно,
yk + 1 = yk + 2,4xk + 1 – 2,3808xk, (14)
yk + 1 = yk + 2,4096xk + 1 – 2,3904xk. (15)
Уравнение для вычисления передаточной функции на каждом шаге квантования дифференцирующей составляющей ПИД-регулятора выводилось с использованием рекомендаций фирмы STMicroelectronics по применению фильтра для акустического терминала [9]. В соответствии с ними, эта передаточная функция в дискретной области описывается формулой
, (16)
а уравнение для ее вычисления на каждом шаге квантования имеет вид
. (17)
В обоих выражениях b0, b1, a0, a1 – коэффициенты передаточной функции, которые вычисляются на основании известной частоты среза желаемой ЛАЧХ ωс и времени квантования Тк. Рассчитав эти коэффициенты, получаем уравнение для программирования вычислений на цифровом контроллере:
yk + 1 = 0,49950675821275yk – 0,4997533816051429187xk + 1 –
– 0,4997533816051429187xk. (18)
ЛАЧХ пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев корректирующего устройства, описанных уравнениями (14), (15), (18), показаны на рис. 6. Необходимая для коррекции характеристика (рис. 5) получается при суммировании логарифмических характеристик этих звеньев.
Ниже приведен фрагмент реализованной на контроллере программы синтеза корректирующего устройства (рис. 7), предназначенной для решения уравнений (14), (15), (18).
Критерием правильного функционирования разработанной программы является соответствие производимого ею преобразования входного сигнала требуемой частотной характеристике коррекции (рис. 5). На этапе автономной отладки на вход АЦП контроллера подавался синусоидальный сигнал с генератора гармонических колебаний, а выходной сигнал с ЦАП контролировался осциллографом.
Следующим этапом стала отработка программы в составе замкнутой системы автоматического регулирования. Для имитации такой системы использовалась аналоговая модель, отражающая динамические свойства объекта регулирования; ее электрическая схема приведена на рис. 8.
Имитация интегрирующего звена, которым в реальной системе слежения является гидравлический привод, осуществляется операционным усилителем U1. Постоянная времени такого привода Тинт определяет его быстродействие как динамической системы и зависит от механических свойств гидропривода, характеризующих его инерционность, и гидравлической жесткости системы. Значение Тинт обычно колеблется в пределах от 1 до 10 с [10], причем большее значение соответствует нормальной инерционной нагрузке при отсутствии заметных активных сопротивлений, то есть условиям работы гидропривода рассматриваемой системы слежения. Задав параметры С1 = 1 000 мкФ, R1 = 10 кОм, получим Тинт = 0,001 · 10 000 = 10 с.
У инерционного звена, для имитации которого предназначен операционный усилитель U2, постоянная времени Тинц зависит от веса панелей и механизма поворота и должна равняться заданному значению Т = 0,2 с. Требуемый результат получен путем выбора С2 = 200 мкФ, R2 = 100 кОм: Тинц = 0,0002 · 100 000 = 0,2 с.
Коэффициент усиления аналоговой модели реализуется с помощью усилителей U1 и U2, коэффициенты усиления которых соответственно равны Кус1 = R1 / R3 = = 10 000 / 1 000 = 10 и Kус2 = R2 / R4 = 100 000 / 5 000 = 20. Тогда общий коэффициент усиления Кус = Кус1 · Kус2 = 10 · 20 = 200, что соответствует заданному коэффициенту усиления гидропривода системы слежения.
Для имитации движения вперед и назад в модели используются оптроны U3 и U4 соответственно, на которые поступает сигнал от системы управления.
Таким образом, использование метода синтеза корректирующих устройств с помощью логарифмических частотных характеристик совместно с рекомендациями компаний STMicroelectronics, Analog Devices и Atmel позволило разработать систему управления устройством непрерывного слежения за Солнцем, позволяющую в среднем на 40% увеличить КПД солнечных панелей и количество вырабатываемой энергии, а также обеспечить более равномерное генерирование электроэнергии в течение дня.
ЛИТЕРАТУРА:
Пчельникова-Гротова О., Иванов А., Латыпов В. Устройство слежения за Солнцем в фотоэлектрических энергетических установках // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес. 2019. № 2 (183). С. 120–125.
Денисенко В. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации. Ч. 2. // Современные технологии автоматизации. 2007. № 1. С. 78–88.
Тумеля П. М., Белоногов В. Д., Березуев А. В., Мулин П. В. Частотный метод синтеза систем автоматического регулирования: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 2017. 64 с.
Теория автоматического регулирования. – Кн. 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1967. 518 с.
Королев Н. Компания ATMEL: новые микроконтроллеры на ядрах Cortex-M // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес. 2014. № 5 (136). С. 42–47.
Ламберт Е. SAM4E – новое семейство микроконтроллеров с ядром Cortex-M4 корпорации Atmel // Компоненты и технологии. 2013. № 7. С. 126–129.
Зырянов Г. В. О выборе максимального периода дискретности в частотном методе синтеза цифровой САР // Вестник ЮрГУ.2010. № 2. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». Вып. 11. С. 33–36.
ADSP‑21990: Implementation of PI Controllers. Analog Devices Inc., December, 2001. 11 р.
AN3984 Application note. IIR filter design equations for Sound Terminal devices. Doc ID 022240 Rev 1. 46 р.
Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управления. Техническая кибернетика. Кн. 3. Исполнительные устройства и сервомеханизмы / Под ред. В. В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1976. 735 с.
О. Пчельникова-Гротова, к. т. н.
В предыдущей статье авторского коллектива по теме проектирования солнечной энергетической установки (СЭУ) [1] были рассмотрены задачи, решаемые системой слежения за Солнцем, и работа ее основных агрегатов; приведена электрическая схема входящего в ее состав контроллера управления положением фотоэлектрических панелей, построенного на аппаратной базе микроконтроллера SAM4E с ядром Cortex-M4. В данной статье описан следующий этап работ – создание программы управления системой слежения.
Подробное описание работы системы слежения приведено в [1]. Объектом управления являются фотоэлектрические панели (ФЭП) с их поворотным механизмом, на который с регулятора (контроллера) поступает управляющее воздействие. Объект управления (регулирования) и автоматический регулятор образуют замкнутую систему автоматического регулирования (САР) (рис. 1) с двумя видами обратной связи для двух режимов работы СЭУ.
В одном из режимов система отрабатывает сигналы от дифференциальных фотодатчиков, нулевое значение которых соответствует наиболее точному, в пределах возможностей системы, направлению ФЭП на Солнце. В другом режиме контроллер формирует сигнал управления как функцию рассогласования между программно заданными углами поворота ФЭП и сигналами об их реальном значении; последние поступают от тензометрических датчиков, измеряющих силу растяжения пружин гидроцилиндров, пропорциональную углу поворота ФЭП.
Контроллер выполняет все функции по управлению движением ФЭП, из которых наиболее сложной является функция корректирующего устройства, обеспечивающего динамические свойства системы слежения. Для ее реализации была разработана методика расчета параметров корректирующего устройства системы автоматического управления (расчет ПИД-регулятора [2]). В основе методики лежит частотный метод синтеза систем автоматического регулирования с применением логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ) [3]; далее результат синтеза, полученный в аналитической форме, подвергается преобразованиям с целью получения уравнений для расчета в цифровом контроллере.
В частотном методе синтеза передаточной функции корректирующего устройства первым этапом является формирование желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы по требованиям к качеству процесса управления замкнутой системой. Другими словами, на этом этапе определяются параметры системы, которая не содержала бы корректирующего звена, по составу динамических звеньев была бы аналогична объекту регулирования и при этом обеспечивала бы требуемое качество управления.
Процесс синтеза начинается с определения передаточной функции неизменяемой части системы, в состав которой входят все элементы объекта управления, влияющие на его динамические характеристики. Поскольку инерционность датчиков не оказывает сколько-нибудь значимого влияния на динамику управления СЭУ, то в нашем случае неизменяемая часть системы содержит два типовых динамических звена:
- блок солнечных панелей – инерционное (апериодическое) звено первого порядка с передаточной функцией ;
приводы механизма поворота – интегрирующее звено с передаточной функцией ,
где Т – постоянная времени; Кус – коэффициент усиления гидравлического агрегата;
s – комплексная переменная (оператор Лапласа). Для рассматриваемой системы слежения [1] из конструктивных соображений приняты коэффициент усиления Кус = 200 и время переходного процесса (время регулирования), определяемое инерционностью солнечных панелей и поворотного механизма, Т = 0,2 с.
Таким образом, нескорректированная система (неизменяемая часть САР) обладает астатизмом первого порядка, так как содержит только одно интегрирующее звено, и ее динамические свойства можно описать выражением
. (1)
Как правило, на ЛАЧХ разомкнутой системы выделяют три области: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. В каждой из этих областей вид частотной характеристики оказывает различное влияние на качество процесса управления в замкнутой системе.
На рис. 2 приведена типовая асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы регулирования с астатизмом первого порядка. В области низких частот ω < ω1 (ω1 – частота сопряжения низкочастотной и среднечастотной асимптот) уравнение асимптоты ЛАЧХ имеет вид L(ω) = 20 lg K – 20 lg ω, а ее наклон равен –20 дБ / дек; здесь L(ω) – амплитуда выходного сигнала, K – коэффициент передачи разомкнутой (нескорректированной) системы, равный в нашем случае произведению Кус · Кн, где Кн – коэффициент передачи звеньев неизменяемой части системы. Коэффициент передачи разомкнутой системы определяет точность замкнутой системы, так как при его увеличении уменьшаются все виды установившихся ошибок [3]; величину K можно вычислить по ординате L(ω) при значении ω = 1.
Вид желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы определяется основным требованием, предъявляемым к любой САР, – непревышением допустимого значения ошибки, то есть расхождения между требуемым и действительным значениями управляемой переменной.В области низких частот выполнению этого требования соответствует наклон асимптоты ЛАЧХ, равный –20 дБ / дек; расположение этой области относительно осей координат зависит от соотношения между коэффициентом передачи разомкнутой системы и частотой сопряжения низкочастотной и среднечастотной асимптот ЛАЧХ.
Качество работы САР в динамическом режиме определяет среднечастотная часть ЛАЧХ, в которой расположена частота среза ωс. Как можно видеть из рис. 2, у разомкнутой (нескорректированной) астатической системы первого порядка на этом участке, находящемся в области ω ≥ ω1, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон –40 дБ / дек. Однако для обеспечения приемлемой по перерегулированию и по степени затухания переходной характеристики САР участок средних частот должен иметь наклон –20 дБ / дек. Задачей синтеза желаемой ЛАЧХ в области средних частот является определение местоположения этого участка и его протяженности с тем, чтобы на следующих этапах реализовать соответствующую коррекцию ЛАЧХ при помощи корректирующего устройства.
Основными показателями переходного процесса являются время регулирования tр, характеризующее быстродействие системы и соответствующее периоду, по истечении которого управляемая величина входит в зону нечувствительности регулятора, и перерегулирование σ, представляющее собой максимальное отклонение управляемой величины от заданного значения. Эти показатели тесно связаны между собой.
Перерегулирование появляется вследствие того, что к новому установившемуся состоянию система подходит с определенной скоростью, и чем больше эта скорость, тем дальше система «пройдет» по инерции за новое установившееся положение. Для уменьшения перерегулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к новому установившемуся состоянию, что приводит к увеличению времени регулирования.
В рассматриваемой системе слежения приемлемое качество регулирования достигается, если перерегулирование σ не превышает 40%, а время переходного процесса tр составляет не более 1 с.
Построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ (см. рис. 3) начинается с определения частоты среза ωс. Для этого по значениям параметров σ и tр с использованием детально разработанных номограмм [4] находится параметр с, определяющий соотношение между tр и ωс.При σ = 40% и tр = 1 с номограммы дают значение параметра с, равное 3, и далее по формулам (2, 3) рассчитывается величина ωс:
, откуда при с = 3, (2)
рад / с. (3)
Через абсциссу ωс проводится среднечастотная асимптота в виде прямой с наклоном –20 дБ / дек. Протяженность участка с таким наклоном устанавливается исходя из наименьшего допустимого запаса устойчивости по фазе Δϕ в интервале частот ω2 ≤ ω ≤ ω3 при выполнении для амплитуды желаемой ЛАЧХ Lж(ω) условия, определяемого выражением
Lϕ ≥ Lж(ω) ≥ –Lϕ, (4)
где Lϕ, –Lϕ – амплитуды ЛАЧХ, соответствующие границам интервала частот, в котором система остается устойчивой.
Значения Δϕ и Lϕ определяются по соответствующим номограммам [4] на основании заданной величины перерегулирования σ; в нашем случае Δϕ = 20°, Lϕ = 8.
Продолжение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ от ω2 до точки сопряжения с низкочастотным участком ЛАЧХ нескорректированной системы проводится отрезком с наклоном –40 дБ / дек, чтобы запас устойчивости по фазе не превышал допустимого значения.
Область частот, соответствующую низкочастотному и среднечастотному участкам ЛАЧХ, называют областью существенных частот, поскольку динамические характеристики системы в этой области решающим образом влияют на качество регулирования. Влияние высокочастотного участка ЛАЧХ (ω > ω3) на показатели качества процесса управления несущественно, что связано с относительно малыми постоянными времени на этом участке.
Поэтому здесь желаемая ЛАЧХ строится из соображений простоты реализации корректирующего устройства: высокочастотной асимптоте желаемой ЛАЧХ придается тот же наклон, что у ЛАЧХ нескорректированной системы.
Полученный вид желаемой асимптотической ЛАЧХ показан зеленой линией на рис. 3, а передаточная функция желаемой системы Wж(s) имеет вид
, (5)
где Кр – коэффициент пропорциональности, который является параметром настройки пропорционального регулятора (Кр – передаточная функция пропорционального звена корректирующего устройства); .
Фиксировать величины Т1, Т2, Т3 не требуется, поскольку предстоит этап оптимизации желаемой ЛАЧХ, целью которого является упрощение реализации корректирующего звена системы регулирования. Для этого проводится совмещение точек перегиба разомкнутой и желаемой ЛАЧХ (ω1 = ω01), что приводит к уменьшению числа изломов ЛАЧХ корректирующего устройства и, следовательно, числа сомножителей в его передаточной функции.
Результаты смещения желаемой ЛАЧХ показаны на рис. 4. Можно видеть, что при совмещении точек перегиба получено изменение ωс с рассчитанного ранее значения 60 на 45 рад / с. Уменьшение ωс не приводит к ухудшению качества регулирования; проблемы может вызвать только ее увеличение, поскольку выход ωс за некоторое допустимое максимальное значение приводит к тому, что требования к параметрам системы приходят в противоречие друг с другом, и САР становится нереализуемой.
Условием определения передаточной функции корректирующего устройства Wку(s) является равенство передаточной функции скорректированной разомкнутой системы Wн(s) и желаемой передаточной функции Wж(s), которая обеспечивает требуемое качество процессов управления; другими словами, Wку(s) определяется из выражения
Wку(s) Wн(s) = Wж(s). (6)
С учетом произведенного совмещения частот ω1 и ω01 передаточная функция корректирующего устройства принимает вид
. (7)
Из выражения (7) следует, что синтезированное корректирующее устройство содержит три звена: пропорциональное с передаточной функцией Kp, интегрирующее с передаточной функцией Wинт(s) и дифференцирующее с передаточной функцией Wдиф(s).
Для соответствующих асимптотических ЛАЧХ получим
Lку(ω) + Lн(ω) = Lж(ω), (8)
откуда
Lку(ω) = Lж(ω) – Lн(ω). (9)
Полученная асимптотическая ЛАЧХ корректирующего устройства показана на рис. 5.
Коррекция осуществляется под управлением контроллера SAM4E с ядром Cortex-M4F, вычислительные возможности которого гарантированно способны обеспечить высокую точность регулирования [5, 6].
Чтобы управлять системой слежения посредством цифрового контроллера, аналитическое выражение (7) для асимптотической ЛАЧХ корректирующего устройства необходимо привести к виду, который может быть реализован средствами цифрового контроллера, то есть выбрать частоту дискретизации входного воздействия и получить уравнения для расчета значения ЛАЧХ на каждом шаге квантования.
Для обеспечения линейности управления на основании рекомендаций [7] была выбрана частота повторения основного цикла программы в 100 раз выше, чем максимальная собственная частота объекта регулирования; при значении последней f = 1 / T = 1 / 0,2 = 5 Гц получаем fs = 500 Гц, Тs = 0,002 с.
Основная помеха для системы регулирования СЭУ, подключенной к электросети, возникает на частоте 50 Гц. Блок фазовой автоподстройки частоты контроллера благодаря наличию нового делителя для тактирования USB позволяет тактировать устройство на максимальной скорости 120 МГц [6]; время преобразования АЦП равно 1 мкс, а время выполнения команды – 7 нс. Поэтому для разделения частот имеется возможность повышения частоты повторения основного цикла программы (частоты квантования) до fк = 5 000 Гц (длительность шага квантования Tк = 0,0002 с).
В соответствии с рекомендациями компаний Analog Devices и STMicroelectronics по синтезу цифрового регулятора на базе контроллера SAM4E [8, 9] передаточная функция динамического звена на каждом шаге квантования должна быть представлена выражением вида
yk + 1 = yk + А1 xk+1 + А0 xk, (10)
где yk, yk + 1 – управляемые переменные на k-ом и (k + 1)-ом шагах квантования; xk, xk – задающее воздействие на k-ом и (k + 1)-ом шагах квантования; А0, А1 – коэффициенты.
Таким образом, для расчета выходного сигнала корректирующего устройства контроллер должен на каждом шаге вычислений решить три уравнения вида (10), соответствующих работе пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих ПИД-регулятора. Поскольку в документации производителя контроллера отсутствуют рекомендации по реализации на нем ПИД-регулятора, сначала рассмотрим работу пропорциональной и интегральной его составляющих, в совокупности представляющих собой ПИ-регулятор, рекомендации по которому в документации приведены, а затем дифференциальной составляющей – на основании имеющихся указаний по применению фильтра для акустического терминала.
Настройка и определение параметров ПИ-регулятора проводятся в непрерывной временной области, в которой его передаточная функция имеет вид
, (11)
где KP и KI – параметры ПИ-регулятора, характеризующие пропорциональную и интегральную его составляющие соответственно, s – переменная Лапласа.
Для реализации на цифровом процессоре необходимо перейти от непрерывной временной области, в которой настраивается ПИ-регулятор, к дискретной временной области путем аппроксимации передаточной функции ПИ-регулятора (11) суммой дискретных значений.
Произведя ряд преобразований в соответствии с методикой, изложенной в статье [8], для расчета передаточной функции ПИ-регулятора на каждом шаге квантования получаем два выражения:
yk + 1 = yk + KР x k + 1 + KР(ωсTк – 1) xk, (12)
, (13)
из которых первое описывает пропорциональную составляющую передаточной функции, а второе – интегрирующую.
При введенном выше ограничении по амплитуде Lϕ = 8 можно записать 8 = 20 lg KР, откуда KР = 2,4. Частота среза и длительность периода квантования уже определены: ωс = 45 рад / с, Тк = 0,0002 с. Подставляя эти значения в выражения (12) и (13), получаем для расчета пропорциональной и интегрирующей составляющих передаточной функции корректирующего звена уравнения, соответственно,
yk + 1 = yk + 2,4xk + 1 – 2,3808xk, (14)
yk + 1 = yk + 2,4096xk + 1 – 2,3904xk. (15)
Уравнение для вычисления передаточной функции на каждом шаге квантования дифференцирующей составляющей ПИД-регулятора выводилось с использованием рекомендаций фирмы STMicroelectronics по применению фильтра для акустического терминала [9]. В соответствии с ними, эта передаточная функция в дискретной области описывается формулой
, (16)
а уравнение для ее вычисления на каждом шаге квантования имеет вид
. (17)
В обоих выражениях b0, b1, a0, a1 – коэффициенты передаточной функции, которые вычисляются на основании известной частоты среза желаемой ЛАЧХ ωс и времени квантования Тк. Рассчитав эти коэффициенты, получаем уравнение для программирования вычислений на цифровом контроллере:
yk + 1 = 0,49950675821275yk – 0,4997533816051429187xk + 1 –
– 0,4997533816051429187xk. (18)
ЛАЧХ пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев корректирующего устройства, описанных уравнениями (14), (15), (18), показаны на рис. 6. Необходимая для коррекции характеристика (рис. 5) получается при суммировании логарифмических характеристик этих звеньев.
Ниже приведен фрагмент реализованной на контроллере программы синтеза корректирующего устройства (рис. 7), предназначенной для решения уравнений (14), (15), (18).
Критерием правильного функционирования разработанной программы является соответствие производимого ею преобразования входного сигнала требуемой частотной характеристике коррекции (рис. 5). На этапе автономной отладки на вход АЦП контроллера подавался синусоидальный сигнал с генератора гармонических колебаний, а выходной сигнал с ЦАП контролировался осциллографом.
Следующим этапом стала отработка программы в составе замкнутой системы автоматического регулирования. Для имитации такой системы использовалась аналоговая модель, отражающая динамические свойства объекта регулирования; ее электрическая схема приведена на рис. 8.
Имитация интегрирующего звена, которым в реальной системе слежения является гидравлический привод, осуществляется операционным усилителем U1. Постоянная времени такого привода Тинт определяет его быстродействие как динамической системы и зависит от механических свойств гидропривода, характеризующих его инерционность, и гидравлической жесткости системы. Значение Тинт обычно колеблется в пределах от 1 до 10 с [10], причем большее значение соответствует нормальной инерционной нагрузке при отсутствии заметных активных сопротивлений, то есть условиям работы гидропривода рассматриваемой системы слежения. Задав параметры С1 = 1 000 мкФ, R1 = 10 кОм, получим Тинт = 0,001 · 10 000 = 10 с.
У инерционного звена, для имитации которого предназначен операционный усилитель U2, постоянная времени Тинц зависит от веса панелей и механизма поворота и должна равняться заданному значению Т = 0,2 с. Требуемый результат получен путем выбора С2 = 200 мкФ, R2 = 100 кОм: Тинц = 0,0002 · 100 000 = 0,2 с.
Коэффициент усиления аналоговой модели реализуется с помощью усилителей U1 и U2, коэффициенты усиления которых соответственно равны Кус1 = R1 / R3 = = 10 000 / 1 000 = 10 и Kус2 = R2 / R4 = 100 000 / 5 000 = 20. Тогда общий коэффициент усиления Кус = Кус1 · Kус2 = 10 · 20 = 200, что соответствует заданному коэффициенту усиления гидропривода системы слежения.
Для имитации движения вперед и назад в модели используются оптроны U3 и U4 соответственно, на которые поступает сигнал от системы управления.
Таким образом, использование метода синтеза корректирующих устройств с помощью логарифмических частотных характеристик совместно с рекомендациями компаний STMicroelectronics, Analog Devices и Atmel позволило разработать систему управления устройством непрерывного слежения за Солнцем, позволяющую в среднем на 40% увеличить КПД солнечных панелей и количество вырабатываемой энергии, а также обеспечить более равномерное генерирование электроэнергии в течение дня.
ЛИТЕРАТУРА:
Пчельникова-Гротова О., Иванов А., Латыпов В. Устройство слежения за Солнцем в фотоэлектрических энергетических установках // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес. 2019. № 2 (183). С. 120–125.
Денисенко В. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации. Ч. 2. // Современные технологии автоматизации. 2007. № 1. С. 78–88.
Тумеля П. М., Белоногов В. Д., Березуев А. В., Мулин П. В. Частотный метод синтеза систем автоматического регулирования: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 2017. 64 с.
Теория автоматического регулирования. – Кн. 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1967. 518 с.
Королев Н. Компания ATMEL: новые микроконтроллеры на ядрах Cortex-M // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес. 2014. № 5 (136). С. 42–47.
Ламберт Е. SAM4E – новое семейство микроконтроллеров с ядром Cortex-M4 корпорации Atmel // Компоненты и технологии. 2013. № 7. С. 126–129.
Зырянов Г. В. О выборе максимального периода дискретности в частотном методе синтеза цифровой САР // Вестник ЮрГУ.2010. № 2. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». Вып. 11. С. 33–36.
ADSP‑21990: Implementation of PI Controllers. Analog Devices Inc., December, 2001. 11 р.
AN3984 Application note. IIR filter design equations for Sound Terminal devices. Doc ID 022240 Rev 1. 46 р.
Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управления. Техническая кибернетика. Кн. 3. Исполнительные устройства и сервомеханизмы / Под ред. В. В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1976. 735 с.
Отзывы читателей
